∑^n k^m を積分と漸化式で出す
だれしも、って積分して漸化式でいけない? って思ったことありませんかね。だからやります。
まず、和として としておきます。
すると、
ところで、なので、
となり、
なので、
を得ます。
これで、みんなが直感的に思っている「積分して最後の係数調整すれば出てくるんじゃねえの」という理屈が正当化されました。
なので、積分を繰り返せばは次式でしょう。最高次の係数は当然。
よって、と定めると、
より、
において、
を得ます。
の時を求めたいので、
を用いて、
この時、はベルヌーイ数と漸化式の定義が等しくなります。ソースはWikipedia。
あとは
と、そのようになっている事が確認できます。
できました。高2くらいの頃に泥臭く出してベルヌーイ数だったことに落胆した思い出があるのでリベンジです。