Momota.pw別館

Yuki_noeの進捗状況

∑^n k^m を積分と漸化式で出す

だれしも、\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} k^m}って積分して漸化式でいけない？　って思ったことありませんかね。だからやります。

まず、和として \displaystyle{f_m(n) = \sum_{k=0}^{n-1} k^m} としておきます。

すると、

\displaystyle{\begin{eqnarray} f_m(n) - f_m(n-1) &=& (n-1)^{m}\\\ \frac{d}{dn}\left[f_m(n) - f_m(n-1)\right] &=& m (n-1)^{m-1}\\\ &=& m\left[f_{m-1}(n) - f_{m-1}(n-1)\right] \\\ \frac{d}{dn}f_m(n) - \frac{d}{dn}f_m(0) &=& m\left[f_{m-1}(n) - f_{m-1}(0)\right] \end{eqnarray}}

ところで、\displaystyle{f_{m}(0) = 0}なので、

\displaystyle{\begin{eqnarray} \frac{d}{dn}f_m(n) &=& mf_{m-1}(n) + \frac{d}{dn}f_m(0) \\\ f_m(n) &=& \int_0^n \left[mf_{m-1}(n) + \frac{d}{dn}f_m(0)\right] dn \\\ &=& m\int_0^n f_{m-1}(n) dn + n\frac{d}{dn}f_m(0) \end{eqnarray}}となり、

\displaystyle{f_{m}(1) = 0}なので、
\displaystyle{\begin{eqnarray} 0 &=& m\int_0^1 f_{m-1}(n) dn + \frac{d}{dn}f_m(0) \\\ f_m(n) &=& m\left[\int_0^n f_{m-1}(n) dn - n\int_0^1 f_{m-1}(n) dn\right] \end{eqnarray}}を得ます。

これで、みんなが直感的に思っている「積分して最後の係数調整すれば出てくるんじゃねえの」という理屈が正当化されました。

f_0(n) = n なので、積分を繰り返せばf_m(n)は(m+1)次式でしょう。最高次の係数は当然\frac 1{(m+1)}。

よって、\displaystyle{f_m(n) = \sum_{k=1}^{m+1} a_{mk} n^k}と定めると、
\displaystyle{\begin{eqnarray} f_m(n) &=& m\int_0^n f_{m-1}(n) dn + n\frac{d}{dn}f_m(0) \\\ \frac d{dn} f_m(n) &=& m f_{m-1}(n) + \frac{d}{dn}f_m(0) \\\ \sum_{k=1}^{m+1} a_{m k} k n^{k-1} &=& m\sum_{k=1}^{m} a_{m-1 k} n^k + a_{m 1} \\\ \sum_{k=2}^{m+1} a_{m k} k n^{k-1} &=& m\sum_{k=1}^{m} a_{m-1 k} n^k \end{eqnarray}}より、

m+1 \geq k \geq 2において、

\displaystyle{\begin{eqnarray} k a_{m k} &=& m a_{m-1 k-1} \\\ a_{m k} &=& \frac mk a_{m-1 k-1} \\\ &=& \frac {m (m-1) (m-2) \cdots (m-n)}{k (k-1) (k-2) \cdots (k-n)} a_{m-n k-n} \\\ &=& \frac {m!}{k! (m-k+1)!} a_{m-k+1 1} \end{eqnarray}}を得ます。


\displaystyle{k = 1}の時を求めたいので、

\displaystyle{\frac d{dn}f(0) = -m\int_0^1 f_{m-1}(n) dn}を用いて、

\displaystyle{\begin{eqnarray} a_{m1} &=& -m\int_0^1 f_{m-1}(n) dn \\\ &=& -m\int_0^1 \sum_{k=1}^{m} a_{m-1 k} n^k dn \\\ &=& -m\sum_{k=1}^m \frac{a_{m-1 k}}{k+1}\\\ &=& -m\sum_{k=1}^m \frac 1{k+1} \frac{(m-1)!}{k! (m-k)!} a_{m-k 1}\\\ &=& -m\sum_{k=0}^{m-1} \frac 1{(m-k)+1} \frac{(m-1)!}{k! (m-k)!} a_{k 1}\\\ &=& -\sum_{k=0}^{m-1} \frac 1{m+1} \frac{(m+1) m (m-1)!}{k! (m-k+1) (m-k)!} a_{k 1}\\\ &=& -\frac 1{m+1} \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m+1}k a_{k 1} \end{eqnarray}}
この時、a_{n 1}はベルヌーイ数B_nと漸化式の定義が等しくなります。ソースはWikipedia。

あとは
\displaystyle{\begin{eqnarray} f_m(n) &=& \sum_{k=1}^{m+1} a_{mk} n^k \\\ &=& \sum_{k=1}^{m+1} \frac {m!}{k! (m-k+1)!} a_{m-k+1 1} n^k \\\ &=& \sum_{k=0}^{m} \frac {m!}{(k+1)! (m-k)!} a_{m-k 1} n^{k+1} \\\ &=& \sum_{k=0}^{m} \frac {m!}{(m-k+1)! (k)!} a_{k 1} n^{m-k+1} \\\ &=& \frac 1{m+1} \sum_{k=0}^{m} \frac {(m+1)!}{(m-k+1)! (k)!} a_{k 1} n^{m-k+1} \\\ &=& \frac 1{m+1} \sum_{k=0}^{m} \binom{m+1}{k} a_{k 1} n^{m-k+1} \\\ &=& \frac 1{m+1} \sum_{k=0}^{m} \binom{m+1}{k} B_k n^{m-k+1} \end{eqnarray}}
と、そのようになっている事が確認できます。

できました。高2くらいの頃に泥臭く出してベルヌーイ数だったことに落胆した思い出があるのでリベンジです。